2021年8月31日 星期二

關於三維空間轉換的更多筆記

首先來整理一下以前寫過的同主題文章:

本文為讀了 An Invitation to 3-D Vision 書中第二章的筆記,想要補充一些之前文章沒有寫清楚的觀念。

so(3) 與 hat、vee operator 的定義

  • so(3) 為 3x3 skew-symmetric 的矩陣的集合
  • Hat operator \(\wedge\) 將三維向量轉換成 so(3)
  • Vee operator \(\vee\) 將 so(3) 轉換成三維向量

SO(3)、SE(3) 的定義

  • SO(3):special orthogonal group,由 3×3 方陣 \(R\) 組成的群,必須滿足線性關係、\(R R^T=R^T R=I\)、以及行列式為 1。
  • SE(3):\(\{g = (R,T)|R\in SO(3), T \in \mathbb{R}^3\}\)
  • Euclidean transformation:保持距離的映射 \(\left \| g(v) \right \| = \left \| v \right \|\)
  • Special Euclidean transformation:保持 orientation 的 Euclidean transformation,因此 special Euclidean transformation 除了保持距離以外,也得符合外積性質 \(g(u) \times g(v)=g(u \times v)\)

SO(3) 的指數、對數映射

李群、李代數與三維空間旋轉文中提過 \(\dot{R}(t)R^T(t)\) 是一個 skew-symmetric 矩陣,因此一定存在一個 \(\omega\) 使得 \(\widehat{\omega}(t)=\dot{R}(t)R^T(t)\),同時可以把此式寫成:\[\dot{R}(t) = \widehat{\omega}(t)R(t)\]也就是說 \(\widehat{\omega}(t)\) 這個 so(3) 在 R(t) SE(3) 的 tangent space 上(也就是李代數)。指數映射就是將 so(3) \(\widehat{\omega}(t)\) 轉換成一個旋轉矩陣 \(R(t) \in SO(3)\) 的過程,而對數映射就是從另一個方向來進行。

 

沒有留言:

張貼留言