2022年2月27日 星期日

簡介 Trifocal Tensor(三)

本文接續前文介紹 trifocal tensor 的性質。

Trifocal tensor 表示法

前文用的表示法為 \(T_1, T_2, T_3\),為三個 3*3 的矩陣,而以後會用更直觀的表示法:

  • \(a^i_j\) 是矩陣 A 的 i-th row 與 j-th column
  • \(T_i^{jk} = a_i^j b_4^k - a_4^j b_i^k\),可以解釋成第 i 個矩陣中的 j-th row 與 k-th column。
  • 直線的轉換式為 \(l_i = l'_j l_k'' T_i^{jk}\)。
  • 點的 homography 轉換式可寫成:
    • \(x''^k=l_j'T_i^{jk}\)
    • \(x'^j=l_k''T_i^{jk}\)

Transfer 問題

Transfer 問題為如何利用第一個與第二個 view 的點 x 與 x' 推出第三個點 x''。這裡介紹兩種方法:

  1. Fundamental matrices:利用前文算出來的 \(F_{31}\) 與 \(F_{32}\),可以計算 epipolar line: \(F_{31}x\) 與 \(F_{32}x'\),利用外積算出兩條 epipolar line 的交點:\(x''=(F_{31}x)\times(F_{32}x')\)。此方法當點 X 在 trifocal plane 時會導致兩條 epipolar line 平行,為 degenerate case。
  2. Trifocal tensor:利用 point-line-point correspondence,degenerate case 只有當 X 在兩個 view 的中心連線上。
    1. 計算 \(F_21\)
    2. 算出一條直線 l',此直線須通過 x' 並與 epipolar line \(l'_e=F_{21}x\) 垂直。假設 \(l'_e=(l_1, l_2, l_3)^T, x'=(x_1, x_2, 1)^T\),則 \(l'=(l_2, -l_1, -x_1l_2+x_2l_1)^T\)
    3. \(x''^k = x^il'_jT_i^{jk}\)
另外也可以計算直線的轉換,於本文前面已提過了直線的轉換式 \(l_i = l'_j l_k'' T_i^{jk}\)。

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