HMOO 讀書筆記: 三維空間轉換與李理論（六）

先複習以前寫過的相關文章：

本文將以參考資料 [1, 2, 3, 4] 的內容為基礎整理出一份完整的筆記。

只要有加法與減法的運算子以後我們就能計算 jacobian 了。由於加法的運算子不符合交換律，因此 jacobian 也分成兩種：

Right jacobian: \[ \mathbf{J_r}=\underset{\mathbf{\tau}\rightarrow 0}{lim}\frac{f(X \oplus \tau)\ominus f(X)}{\tau} \]
Left jacobian: \[ \mathbf{J_l}=\underset{\mathbf{\tau}\rightarrow 0}{lim}\frac{f(\tau \oplus X)\ominus f(X)}{\tau} \]

三維空間中的旋轉式子為 \(f(\mathbf{R}, \mathbf{p})=\mathbf{R \cdot p}\)。

利用右擾動來計算微分： \[ \frac{Df}{D\mathbf{R}}=\underset{\theta \rightarrow 0}{lim}\frac{(\mathbf{R}\oplus \theta)\cdot \mathbf{p}\ \ominus \mathbf{R \cdot p}}{\theta} \\ =\underset{\theta \rightarrow 0}{lim}\frac{(\mathbf{R}\cdot Exp(\theta))\cdot \mathbf{p}\ \ominus \mathbf{R \cdot p}}{\theta} \\ =\underset{\theta \rightarrow 0}{lim}\frac{\mathbf{R}\cdot (\mathbf{I}+\theta_{\times})\cdot \mathbf{p}\ \ominus \mathbf{R \cdot p}}{\theta} \\ =\underset{\theta \rightarrow 0}{lim}\frac{\mathbf{R}\cdot \theta_{\times}\cdot \mathbf{p}}{\theta} \\ =\underset{\theta \rightarrow 0}{lim}\frac{-\mathbf{R}\cdot \mathbf{p}_{\times} \cdot \theta}{\theta} \\ = -\mathbf{R \cdot p_{\times}} \]
利用左擾動來計算微分： \[ \frac{Df}{D\mathbf{R}}=\underset{\theta \rightarrow 0}{lim}\frac{(\theta \oplus \mathbf{R})\cdot \mathbf{p}\ \ominus \mathbf{R \cdot p}}{\theta} \\ =\underset{\theta \rightarrow 0}{lim}\frac{\theta_{\times}\cdot \mathbf{R \cdot p}}{\theta} \\ =\underset{\theta \rightarrow 0}{lim}\frac{-(\mathbf{R \cdot p})^{\wedge}\theta}{\theta} \\ = -(\mathbf{R \cdot p})^{\wedge} \]

這邊直接寫出結果：

利用右擾動來計算微分： \[ \frac{Df}{D\mathbf{T}}=\begin{bmatrix} \mathbf{R} & -\mathbf{R \cdot p}^{\wedge}\\ 0^T & 0^T \end{bmatrix} \]
利用左擾動來計算微分： \[ \frac{Df}{D\mathbf{T}}=\begin{bmatrix} I & -(\mathbf{R \cdot p}+\mathbf{t})^{\wedge}\\ 0^T & 0^T \end{bmatrix} \]

Exp map 至 quaternion 我們在三維空間轉換與李理論（五）(Eq. 11) 介紹過式子，而其 jacobian 我們在SO(3) 上的李代數求導數有詳細的推導。

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